Funciones

¡Feliz Navidad a todos!

Disfrutad de las vacaciones y sacad algún ratico para repasar.
Os dejo material...

• Ejercicios resueltos de Anaya: pág 94, pág 95, pág 96, pág 97
• Ejercicios resueltos de Santillana

Exámenes resueltos

Examen global

Como sabéis, a la vuelta de este puente de la Constitución tenemos el examen global, que para unos cuantos, deberá servir para recuperar este primer bloque de contenidos del curso.
Una buena forma de prepararlo es volver a hacer los exámenes que habéis hecho en la evaluación. Aquí los tenéis resueltos:

• Prueba 1: Números reales
• Prueba 2: Polinomios y fracciones algebraicas
• Prueba 3: Ecuaciones e inecuaciones

Pero, sin duda, deberéis reflexionar sobre a qué han sido debidos vuestros fallos, ser conscientes de cuáles son vuestras principales dificultades y trabajar a fondo para vencerlas.

Os dejo ejercicios resueltos de la editorial Santillana de todos los temas:

• Tema 1: Números reales
• Tema 2: Potencias y radicales
• Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas
• Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones
• Tema 5: Sistemas de ecuaciones

Preparando el próximo examen

Parece que algunos todavía necesitáis más material... Pues aquí os dejo ejercicios resueltos de la editorial Santillana. Os lo digo siempre: leyendo ejercicios resueltos, no se aprende; haciéndolos, aunque sea mal y analizando los errores, sí.

• Ecuaciones e inecuaciones
• Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Soluciones del tema 3

Como os prometí, aquí tenéis las soluciones de los ejercicios de vuestro libro de texto. Analizad con cuidado a qué son debidos los errores. ¡Un último esfuerzo que, si habéis trabajado, seguro que lo hacéis bien!

• página 72
• página 73
• página 74
• página 75
• página 76
• página 77

Último repaso

A petición de algunos alumnos, os dejo las soluciones de los últimos ejercicios para que podáis hacer las comprobaciones oportunas:

• Página 54
• Página 55

Polinomios

Algunos de vosotros me habéis pedido más material de álgebra. Tened en cuenta que, a veces, no es cuestión de matarse a hacer ejercicios, sino de fijarse bien en el tipo de errores que cometéis para no repetirlos.
En cualquier caso, aquí tenéis:

• Fracciones algebraicas
• Ejercicios resueltos de polinomios

Iniciando el álgebra

A veces, la resolución de un problema consiste en elegir una buena notación, en simbolizar con letras números que, en principio, son desconocidos. Resuelve éste:

Un rectángulo formado por cuadrados
Se tiene un rectángulo formado por la unión de 9 cuadrados no superpuestos, como ves en la figura.
Si el cuadrado más pequeño tiene 2 cm de lado, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo grande?

Fractales

Espero que lo estéis pasando genial en estos pilares, pero dejaos alguna neurona descansada y activa para después, porque ... habrá que ponerse a trabajar, ¿no?

Os voy a dar unas pautas para que redactéis, fijaos bien, redactéis, un trabajo sobre fractales.

Hasta ahora habéis estudiado rectas, círculos, polígonos, poliedros... es decir, habéis estudiado geometría de Euclides, la cual nos permite estudiar muchas formas de la naturaleza y otras construidas por el ser humano. Sin embargo, esta geometría no sirve para explicar algunas formas de la naturaleza como las líneas costeras, ramificaciones arbóreas, montañas, el sistema neuronal, una coliflor... y ciertos objetos matemáticos. Los fractales sí.

Insisto, al redactar el trabajo, habrá que decir

• qué es un fractal
• quién acuñó ese término y cuándo
• poner algún ejemplo
• cuáles son sus características principales:
• la autosemejanza: cualquier parte arbitraria contiene una réplica exacta del objeto total
• la iteración: el proceso de construcción de un fractal es repetitivo
• la geometría fractal utiliza como herramienta los algoritmos

Luego os vais a centrar en el estudio de un fractal concreto: el árbol pitagórico.
Para que el lector de vuestro trabajo se haga una idea, podriais empezar por mostrarlo:

• dibujar el árbol pitagórico en papel cuadriculado (podéis partir de un cuadrado de 8 cuadraditos de lado) e iterar el proceso seis o siete pasos.
• bajar alguna imagen de internet donde se muestre el árbol con muchos más pasos

A continuación debéis comenzar el análisis de este fractal:

• ¿cuál es el algoritmo, los pasos que debemos seguir, para construir el fractal?
1. tomando como hipotenusa el lado de un cuadrado, se construye un triángulo rectángulo isósceles
2. sobre cada cateto del triángulo rectángulo se construye un cuadrado
3. Se vuelve al paso 1

• Esto constituye el motivo mínimo, que tendréis que explicar y dibujar con regla y compás

Para el estudio del árbol pitagórico, os fijaréis en una de sus ramas

• ¿qué ocurre con la sucesión de cuadrados? ¿cómo son sus lados? ¿y sus áreas?

Una vez concluido el estudio, podríais dar una idea de cómo podrían construirse otros fractales haciendo alguna variación sobre el algoritmo de éste y dejar la puerta abierta a un trabajo posterior.

Por si os sirve de ayuda, os dejo la presentación que os puse en clase

• Fractales

Radicales

Por si alguno/a ya se ha acabado los ejercicios de radicales del libro y quiere practicar más, aquí tenéis un regalito

• Operaciones con radicales

Tampoco quiero que os obsesionéis con esto. Pensad en todo lo demás que entra en el examen y no os descuidéis.

Comprobemos...

Espero que estéis trabajando ya para el examen del miércoles. Para que comprobéis si los ejercicios los estáis haciendo bien, os dejo las soluciones:

• página 34
• página 35
• página 36
• página 37

No os engañéis y penséis que leyendo los ejercicios vais a aprender. Solo aprenderéis haciéndolos aunque haya errores. Cuando comprobéis la solución y veáis dónde os habéis equivocado y, sobre todo, reflexionéis por qué os habéis equivocado, entonces estaréis aprendiendo de verdad.

El número áureo

Ya hemos hablado con anterioridad del asombro que les produjo a los miembros de la escuela pitagórica descubrir la irracionalidad de  . No debió de ser menor la turbación que sintieron cuando comprobaron que había otro número contrario a la razón contenido nada menos que en el símbolo de su escuela, la estrella de cinco puntas (pentágono estrellado).
Descubrieron que la relación que existe entre el lado del pentágono estrellado y el lado del correspondiente pentágono (AC y AB, por ejemplo) no se puede expresar como cociente de dos números enteros.

• Demuestra que los triángulos DAB y DFC son semejantes
• Llamando l a cualquiera de las diagonales del pentágono, que son a su vez los lados de la estrella pitagórica, y tomando como unidad el lado del pentágono  y  a partir de la semejanza de triángulos anterior, halla la relación entre la diagonal del pentágono y el lado.

Más adelante, este número que has hallado  tuvo otras aplicaciones, por ejemplo en el arte. El rectángulo que tenía sus lados en proporción  se consideraba especialmente armonioso y en el Renacimiento, con Luca Pacioli y Leonardo da Vinci, se le llamó rectángulo áureo y a  número áureo.

En la recta real podemos representarlo así

Justifica la construcción para demostrar que, efectivamente, el número marcado en la recta real es el numero áureo.

¡Lo vamos a conseguir!

Empezamos un nuevo curso y es importante que lo empecemos desde el principio con ganas e ilusión.
A muchos de vosotros os conozco, confío en vosotros y sé que lo haréis, pero tened en cuenta que vais a tener que hacer un esfuerzo mayor que otros años. En junio vais a obtener vuestro primer título importante y, necesariamente, el nivel de exigencia ha de ser mayor.
Planificad bien vuestras tareas y trabajad duro. Así el éxito estará asegurado.
Estad seguros de que yo estaré a vuestro lado para ayudaros a conseguirlo. No olvidéis que somos un equipo.